Spherical Renders of Labyrinths

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Recently I was thinking about how one of the mazes that I programmed would it seen using a spherical lens. Spherical lens deform parts of the images that are away from center, so the things that are far away looks like further away indeed. So more things "fits" inside the image.
When the deformation is low the result is similar to a wide angle lens. When the deformation is high we get images more dificult to achieve in reality. When the deformation is very high the images are imposible to obtain in reality.
The code that generates a particular ray for a pixel can be coded like this:

Ray RayGenerator::GenerateRay(int pixel_x, int pixel_y)
{
Ray ray;
double u,v;

ConvertPixel_to_Unit(pixel_x,pixel_y,u,v);

ray.orig=From;
ray.dir=-Normalize3d(-i + u*tanFov*aspect*j + v*tanFov*k);

return ray;
}

This code generates rays that advance in the negative direction of the X axis

Slightly modifying the code we can obtain our new spherical camera:

Ray SphericalRayGenerator::GenerateRay(int pixel_x, int pixel_y)
{
Ray ray;
double u,v;

ConvertPixel_to_Unit(pixel_x,pixel_y,u,v);

u*=fishEyeFactor*aspect;
v*=fishEyeFactor;

Vector V;
double r=sqrt(u*u+v*v);

double a=atan2(v,u);
V.y=sin(a)*(1-cos(r));
V.z=-cos(a)*(1-cos(r));
V.x=sin(r);
V=Normalize3d(V);

Matrix matrix=Construct4d(i,j,k,VECTOR3D(0,0,0));
V=TransformVector3d(V,matrix);

ray.orig=From;
ray.dir=Normalize3d(V);

return ray;
}

This type of projection generates a pole (or singularity) in the positive direction of the X axis. This generates images wery similar to the ones that Escher made in Circle Limit. As we aproach to the horizon we go to infinity.
With the value 'fishEyeFactor' we replicate the plane several times over the sphere reaching infinity as concentrical circular shapes.

This image is a normal render of an infinite labyrinth:


As we increase the spherical factor we slightly deform the image:


If we increase too much the factor we reach infinity several times:


We can make a render looking "down" obtaining an image that remainds quite well to the ones of M.C.Escher:


Likewise it's possible to increase the spherical factor:

Hace poco estuve pensando cómo se vería uno de los laberintos infinitos que programé bajo una lente esférica. Las lentes esféricas deforman partes de la imagen que se alejan del centro de ésta, haciendo que lo que está más lejos aparezca más lejos todavía. Así "entran" más cosas en la imagen.
Cuando la deformación es baja el resultado es similar a lentes de gran angular. Cuando la deformación es alta tenemos imágenes que son más difíciles de obtener en la realidad. Si la deformación es muy alta, las imagénes son imposibles de obtener en la realidad.
El código que genera un rayo para un pixel determinado se puede codificar así:

Ray RayGenerator::GenerateRay(int pixel_x, int pixel_y)
{
Ray ray;
double u,v;

ConvertPixel_to_Unit(pixel_x,pixel_y,u,v);

ray.orig=From;
ray.dir=-Normalize3d(-i + u*tanFov*aspect*j + v*tanFov*k);

return ray;
}

Este código genera rayos que avanzan en la dirección negativa del eje X.

Modificando ligeramente el código anterior podemos obtener nuestra cámara esférica:

Ray SphericalRayGenerator::GenerateRay(int pixel_x, int pixel_y)
{
Ray ray;
double u,v;

ConvertPixel_to_Unit(pixel_x,pixel_y,u,v);

u*=fishEyeFactor*aspect;
v*=fishEyeFactor;

Vector V;
double r=sqrt(u*u+v*v);

double a=atan2(v,u);
V.y=sin(a)*(1-cos(r));
V.z=-cos(a)*(1-cos(r));
V.x=sin(r);
V=Normalize3d(V);

Matrix matrix=Construct4d(i,j,k,VECTOR3D(0,0,0));
V=TransformVector3d(V,matrix);

ray.orig=From;
ray.dir=Normalize3d(V);

return ray;
}

Este tipo de proyección genera un polo (o singularidad) en la dirección positiva de las X. Esto genera imágenes muy similares a las que Escher realizaba en Límite Circular (Circle Limit). A medida que nos acercamos al horizonte nos vamos hasta infinito.
Con el valor 'fishEyeFactor' "replicamos" el plano varias veces sobre la esfera encontrando el infinito en forma de círculos concéntricos.

Esta imagen es un render normal de un laberinto infinito:


A medida que aumentamos el factor esférico deformamos la imagen ligeramente:


Si aumentamos demasiado el factor alcanzamos el infinito varias veces:


Podemos realizar un render mirando hacia "abajo" obteniendo una imagen que recuerda bastante a las de M.C.Escher:


Se puede igualmente aumentar el factor esférico: